Guida a KmPlot disegnatore di funzioni matematiche per l'ambiente desktop KDE: tipi di funzioni.

KmPlot può gestire molti tipi di funzione, sia scritte in forma esplicita che come equazioni:

• Per i grafici cartesiani si può scrivere la funzione usando un'espressione del tipo «y = x^2», dove x deve essere il nome della variabile, che un'espressione del tipo «f(a) = a^2», dove il nome della variabile è arbitrario.
  
• I grafici parametrici si gestiscono in modo simile a quelli cartesiani. Le coordinate possono essere fornite tramite equazioni in t (ad es. «x = sin(t)», «y = cos(t)») o come funzioni (ad es. «f_x(s) = sin(s)», «f_y(s) = cos(s)»).
  
• Anche i grafici polari si gestiscono in modo simile a quelli cartesiani. Possono essere descritti tramite un'equazione in θ (ad es. «r = θ») o come una funzione (e.g. «f(x) = x»).
  
• Per i grafici di funzioni implicite, il nome della funzione deve essere fornito separatamente dall'espressione che lega le coordinate x e y. Se vengono indicate due lettere nel nome della funzione (ad es. questa è scritta come «f(a,b)»), allora queste saranno usate come variabili. Altrimenti le variabili saranno indicate con le lettere x e y.
  
• I grafici differenziali espliciti rappresentano le soluzioni di equazioni differenziali in cui la derivata di grado più alto è espressa in funzione delle derivate di grado inferiore. La differenziazione è indicata con un apostrofo ('). Scrivendola come funzione, l'equazione avrà la forma «f''(x) = f' − f». Scrivendola come equazione, essa avrà la forma «y'' = y' − y». Nota che in entrambi i casi, la dipendenza da «(x)» non è mostrata nei termini differenziali di grado inferiore. Ossia, puoi scrivere «f'(x) = −f», ma non «f'(x) = −f(x)».
  

Tutte la caselle predisposte per scrivere le equazioni hanno un pulsante sulla destra. Premendolo viene aperto l'Editor delle equazioni che permette di utilizzare:

• Moltissimi simboli matematici che possono servire nelle equazioni ma che mancano sulle normali tastiere.
  
• L'elenco delle costanti personali e il pulsante per modificarle.
  
• L'elenco delle funzioni predefinite. Nota che se hai già selezionato un testo, questo verrà preso come argomento quando attivi una funzione. Per esempio, se hai selezionato «1 + x» nell'equazione «y = 1 + x» e poi scegli la funzione seno, l'equazione diventerà « y = sin(1+x)».

Tipi di funzione.

Funzioni cartesiane.

Per inserire una funzione esplicita (cioè una funzione nella forma y=f(x)) in KmPlot è sufficiente scriverla nel modo seguente:

f(x) = espressione

Dove:

• f è il nome della funzione, che può essere qualsiasi stringa di lettere e numeri.
• x è la coordinata delle ascisse, da usare nell'espressione che segue il segno di uguale. Si tratta di una variabile fittizia, per cui puoi usare un nome qualsiasi e l'effetto rimarrà lo stesso.
• espressione è l'espressione da visualizzare nel grafico, espressa nella sintassi propria di KmPlot.

Funzioni parametriche.

Le funzioni parametriche sono quelle in cui le coordinate x e y sono definite da funzioni distinte di un'altra variabile, di solito chiamata t. Per inserire una funzione parametrica in KmPlot, segui la stessa procedura usata per le funzioni cartesiane per ognuna delle due funzioni che descrivono la x e la y. Come per le funzioni cartesiane, puoi usare un nome qualsiasi per il parametro.

Per esempio, supponiamo che tu voglia disegnare una circonferenza, che ha equazioni parametriche x = sin(t), y = cos(t). Dopo aver aperto un grafico parametrico, inserisci le opportune equazioni negli spazi per x e y , cioè, f_x(t)=sin(t) e f_y(t)=cos(t).

Nell'editor per le funzioni puoi impostare altre opzioni per il grafico:

Min, Max

Queste opzioni stabiliscono l'intervallo dei valori del parametro t per i quali viene tracciata la curva.

Funzioni in coordinate polari.

 Le coordinate polari individuano un punto tramite la sua distanza dall'origine (di solito indicata con r) e l'angolo (di solito indicato con θ,la lettera greca theta) compreso tra il semiasse positivo delle x e la semiretta uscente dall'origine e passante per il punto. Per definire delle funzioni in coordinate polari premi il pulsante Crea e seleziona Grafico polare nell'elenco.Completa la definizione della funzione nell'apposito riguadro, in particolare specifica il nome che vuoi usare per la variabile theta. ad es., per disegnare la spirale di Archimede r=θ, devi scrivere:

r(θ) = θ

. Nota che puoi usare qualsiasi nome per la variabile angolare, quindi «r(t)=t» o «f(x) = x» produrrebbero esattamente lo stesso grafico.

Funzioni implicite.

Una espressione implicita lega le variabili x e y tramite un'eguaglianza. Per esempio, per definire una circonferenza, premi il pulsante Crea e seleziona Grafico implicito. Quindi inserisci nella casella per l'equazione (sotto quella con il nome della funzione) questa espressione:

x^2 + y^2 = 25

Funzioni differenziali.

KmPlot può disegnare la soluzione di equazioni differenziali esplicite. Ossia di equazioni sella forma y⁽ⁿ⁾ = F(x,y',y'',...,y⁽ⁿ⁻¹⁾), dove y^k è la k^sima derivata di y(x). KmPlot può leggere l'ordine di derivazione solo tramite il numero di apostrofi (') che seguono il nome della funzione. Per esempio, volendo tracciare una curva sinusoidale, potresti usare una di queste equazioni differenziali y'' = − y o f''(x) = −f.

Ovviamente, un'equazione differenziale non è sufficiente per determinare la curva da tracciare. Ogni curva sarà determinata combinando l'equazione differenziale con delle condizioni iniziali. Puoi modificare queste ultime premendo il pulsante Condizioni iniziali dopo aver selezionato un'equazione. Il numero di colonne attivato per scrivervi le condizioni iniziali dipenderà dall'ordine dell'equazione differenziale.

Nell'editor per le funzioni puoi impostare altre opzioni per il grafico:

Passo:

Il valore assegnato al passo nel riquadro "precisione" verrà usato nella soluzione numerica dell'equazione differenziale, con il metodo di Runge-Kutta. Questo valore sarà il massimo passo di discretizzazione utilizzato. Potrebbe esserne utilizzato uno più piccolo se si richiede lo zoom della curva su un piccolo intervallo.

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